В позиционной системе счисления число представляется в виде определенной последовательности нескольких цифр. Место каждой цифры в числе называется позицией. Одной из первых известных позиционных систем счисления была вавилонская шестидесятичная. Цифры в этой системе были двух типов, первый тип обозначал единицы, а второй – десятки. При этом нужно было не забывать то, что цифры в каждом следующим разряде были в 60 раз больше той же самой цифры из предыдущего разряда. Так же в этой системе отсутствовала цифра, обозначающая нуль. Вавилонская система счисления сохранилась до наших дней и используется в записях величин времени и углов.
Но все же, наибольшую ценность для нас представляет индо-арабская система счисления. В ней имеется всего 9 цифр и символ 0 (нуль). Индийцы одними из первых начали использовать нуль для указания позиционной значимости величины в строке цифр. И так как, в этой системе десять цифр, то она получила название десятичная.
В наше время, время вычислительной техники, получили практическое применение, такие системы счисления как, восьмеричная, шестнадцатеричная и двоичная.
Остановимся поподробнее на позиционной системе. В ней, каждой позиции присваивается определенный вес bi, где b – основание системы счисления.
К примеру, четырехпозиционное число можно представить в виде: D=d3b3+d2b2+d1b1+d0b0, где di соответствует цифре.
Вес bi от позиции к позиции увеличивается справа налево пропорционально. В качестве этой пропорции выступает степень основания. Поэтому, все весА в позиционной системе имеют вид bi, …, b2, b1, b0. Тогда пример, приведенный выше, будет иметь вид: D=d3b3+d2b2+d1b1+d0b0.
Если di – это множество десятичных цифр, а основание b=10, то значение числа D можно вычислить следующим образом: D=5*103+4*102+8*101+3*100=5483.
Если нужно представить дробное число, то применяют отрицательный показатель степени основания: D=d-1b-1+d-2b-2=1*10-1+5*10-2=0.15.
А в общем виде, в позиционной системе счисления число записывается и вычисляется так: D=dp-1bp-1+dp-2bp-2+…+d1b1+d0b0.d-1b-1+d-2b-2+…+d-nb-n, где p – число цифр, которые расположены слева от точки, а n – число цифр, которые расположены справа.
Пример для десятичной системы: D=d2b2+d1b1+d0b0.d-1b-1+d-2b-2=4*102+2*101+3*100.1*10-1+5*10-2=423.1510.
Пример для двоичной системы (b=2): D=1*22+0*21+1*20.1*2-1+0*2-2=101.1(2)=5.510.
Если число целое, то точка находится справа от правой крайней цифры. Если имеются нули в крайних правых и левых позициях, то они не оказывают влияния на величину числа и поэтому не отображаются. Такие нули называются незначащими. В числе крайняя левая цифра называется цифрой старшего разряда, а крайняя правая – соответственно цифрой младшего разряда.