В позиционной системе счисления число представляется в виде определенной последовательности нескольких цифр. Место каждой цифры в числе называется позицией. Одной из первых известных позиционных систем счисления была вавилонская шестидесятичная. Цифры в этой системе были двух типов, первый тип обозначал единицы, а второй – десятки. При этом нужно было не забывать то, что цифры в каждом следующим разряде были в 60 раз больше той же самой цифры из предыдущего разряда. Так же в этой системе отсутствовала цифра, обозначающая нуль. Вавилонская система счисления сохранилась до наших дней и используется в записях величин времени и углов.

Но все же, наибольшую ценность для нас представляет индо-арабская система счисления. В ней имеется всего 9 цифр и символ 0 (нуль). Индийцы одними из первых начали использовать нуль для указания позиционной значимости величины в строке цифр. И так как, в этой системе десять цифр, то она получила название десятичная.

В наше время, время вычислительной техники, получили практическое применение, такие системы счисления как, восьмеричная, шестнадцатеричная и двоичная.

Остановимся поподробнее на позиционной системе. В ней, каждой позиции присваивается определенный вес b_i, где b – основание системы счисления.

К примеру, четырехпозиционное число можно представить в виде: D=d₃b₃+d₂b₂+d₁b₁+d₀b₀, где d_i соответствует цифре.

Вес b_i от позиции к позиции увеличивается справа налево пропорционально. В качестве этой пропорции выступает степень основания. Поэтому, все весА в позиционной системе имеют вид bⁱ, …, b², b¹, b⁰. Тогда пример, приведенный выше, будет иметь вид: D=d₃b³+d₂b²+d₁b¹+d₀b⁰.

Если d_i – это множество десятичных цифр, а основание b=10, то значение числа D можно вычислить следующим образом: D=5*10³+4*10²+8*10¹+3*10⁰=5483.

Если нужно представить дробное число, то применяют отрицательный показатель степени основания: D=d_-1b^-1+d_-2b^-2=1*10^-1+5*10^-2=0.15.

А в общем виде, в позиционной системе счисления число записывается и вычисляется так: D=d_p-1b^p-1+d_p-2b^p-2+…+d₁b¹+d₀b⁰.d_-1b^-1+d_-2b^-2+…+d_-nb^-n, где p – число цифр, которые расположены слева от точки, а n – число цифр, которые расположены справа.

Пример для десятичной системы: D=d₂b²+d₁b¹+d₀b⁰.d_-1b^-1+d_-2b^-2=4*10²+2*10¹+3*10⁰.1*10^-1+5*10^-2=423.15₁₀.

Пример для двоичной системы (b=2): D=1*2²+0*2¹+1*2⁰.1*2^-1+0*2^-2=101.1₍₂₎=5.5₁₀.

Если число целое, то точка находится справа от правой крайней цифры. Если имеются нули в крайних правых и левых позициях, то они не оказывают влияния на величину числа и поэтому не отображаются. Такие нули называются незначащими. В числе крайняя левая цифра называется цифрой старшего разряда, а крайняя правая – соответственно цифрой младшего разряда.