Высказывания

При построении алгебры логики мы использовали функциональный подход. Однако, можно было бы построить эту алгебру конструктивно. Сначала определить объекты изучения (высказывания), ввести операции над этими объектами и изучить их свойства. Дадим формальные определения.

Высказыванием назовем повествовательное предложение относительно которого можно однозначно сказать истинно оно (значение И или 1) или ложно (значение Л или 0) в конкретный момент времени. Например, «5-простое число», «нажата клавиша «Esc»» и т.д. При помощи связок «не», «и», «или», «если,… то», «если и только если» (им отвечают операции «¬», «&», «v», «→», «∼» соответственно) можно построить более сложные высказывания (предложения). Так строится алгебра высказываний.

Для упрощения записи сложных высказываний вводится старшинство связок: «¬», «&», «v», «→», «∼», что помогает опустить лишние скобки.

Простые высказывания назовем пропозициональными переменными.

Введем понятие формулы.

1. Пропозициональные переменные являются формулами.

2. Если А, В формулы, то выражения ¬А, АВ, АvВ, А→В, А∼В являются формулами.

3. Формулами являются только выражения построенные в соответствии с пп.1 и 2.

Формула, принимающая значение И при всех значениях пропозициональных переменных называется тавтологией (или общезначимой), а формула, принимающая значение Л при всех значениях пропозициональных переменных называется противоречием (или невыполнимой).

Описание свойств алгебры высказываний аналогично описанию соответствующих функций в булевой алгебре и мы их опускаем.