Упорядоченной n-кой называется набор из n элементов (x1, x2, …, xn), причем порядок следования элементов фиксирован (имеет значение). Если a и b два объекта, то через (a, b) обозначают упорядоченную пару. Вообще говоря (a, b) ≠ (b, a), например, на плоскости точка (2, 1) отличается от точки (1, 2).
Равенство упорядоченных пар определяется следующим образом:
(a, b) = (c, d) ⇔ a = c и b = d
Прямым или декартовым произведением двух множеств А и В называется множество упорядоченных пар, в котором первый элемент каждой пары принадлежит множеству А, а второй принадлежит В:
А×B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}
Аналогично определяется декартово произведение n множеств:
A1×A2×…×An = {(a1, a2, …, an)|a1∈A1, a2∈A2, …, an∈An}.
Отступление. Точка на плоскости может быть задана упорядоченной парой координат, то есть двумя точками на координатных осях. Таким образом, R2 = R×R. Метод координат ввел в употребление Рене Декарт (1596 — 1650), отсюда и название «декартово произведение».
Степенью множества А называется его прямое произведение самого на себя. Обозначение: An = A×A×…×A. Соответственно, А1 = А, А2 = А×А, А3 = А×А×A и т.д.
Пример. Пусть A = {1, 2}, B = {x, y}. Тогда:
А×B = {(1, x), (2, x), (1, y), (2, y)},
B×A = {(x, 1), (x, 2), (y, 1), (y, 2)},
А2 = А×А = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.