Понятие мощности возникает при сравнении множеств по числу элементов. Множества А и В назовем эквивалентными (обозначается А~В), если существует биекция f:А→В.

Утверждение. Введенное понятие эквивалентности является отношением эквивалентности, т.е. оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Доказательство.

1. Рефлексивность (А~А): здесь в качестве биекции следует взять тождественное отношение (функцию).

2. Симметричность (А~B ⇒ B~А). Пусть f:А→В исходная биекция. Тогда обратная функция f^-1:B→A является искомой биекцией.

3. Транзитивность (А~B и B~C ⇒ A~C). Пусть f:А→В и g:B→C исходные биекции. Тогда композиция f°g:A→C является искомой биекцией. Утверждение доказано.

Определение. Мощностью конечного множества является число его элементов. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.

Определим теперь мощность некоторых бесконечных множеств. Множество A называется счетным, если A ~ N, где N множество натуральных чисел. Говорят, что множество A имеет мощность континума, если A ~ [0, 1], где [0, 1] − множество точек отрезка [0, 1]. Мощность множества А обозначается |А|.

Примеры.

1. Пусть A = {1, 2, 3, 5}, B = {a, b, c, f}. Тогда |A| = 4, |B| = 4, т.е. множества A и B имеют одинаковую мощность (равномощны).

2. Счетными являются следующие множества:

— Множество четных чисел;

— Множество целых чисел;

— Множество рациональных чисел.

3. Следующие множества имеют мощность континума:

— Множество точек на отрезке [0, 5];

— Множество точек квадрата [1, 10] × [1, 10];

— Множество точек пространства R³.

Замечание. Существование биекции между двумя эквивалентными множествами позволяет переносить изучение свойств с одного множества на другое, когда природа элементов не важна. Например, если |А| = n, то с элементами множества А можно работать как с числами 1, 2, …, n.