Понятия «множество» и «элемент множества» считаются первичными и поэтому не имеют строгого определения, хотя в каждом конкретном случае интуитивно должно быть ясно, что из себя представляет множество, и из каких элементов оно состоит. Предполагается, что для данного элемента a и множества А всегда можно определить, принадлежит элемент a множеству А (пишется: а ∈ А) или элемент а не принадлежит множеству А (пишется: а ∉ А). Это правило, по сути, и определяет множество А, как и все другие множества относящиеся к данной задаче.

Множества, как правило, обозначаются большими латинскими буквами (A, B, C, …), а его элементы маленькими (a, b, c, …).

Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым и обозначается Ø. Множество U содержащее все элементы, рассматриваемые в данной задаче, называется универсальным множеством (универсум). Множество называется конечным, если оно содержит конечное число элементов.

Чтобы задать множество, нужно указать, какие элементы ему принадлежат. Это можно сделать следующими способами:

1. перечислением элементов: А = {a₁, a₂, …, a_m};

2. характеристическим предикатом: А = {x| P(x)}, т.е. в A входят только те x, которые удовлетворяют условию P(x);

3. А = {словесное описание элементов множества};

4. порождающей процедурой: A = {x| x:=f}.

Последний из перечисленных способов лежит в основе так называемого конструктивизма — направления в математике, в рамках которого рассматриваются только такие объекты, для которых известны процедуры их порождающие (алгоритмы).

Примеры:

A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

A = {n|1 ≤ n ≤ 9 и n-целое}

A = {состоит из арабских цифр от 1 до 9}

A = {(x,y)|x² + y² = 1, x∈R, y∈R}

A = {точки единичной окружности на плоскости}

A = {автомобили ВАЗ, выпущенные в 2000 году}

A = {n| for n from 1 to 9 print n} − порождающая процедура

Замечание. Очевидно, что перечислением можно задать лишь конечные множества, которые имеют «небольшое количество» элементов.